Capacità di studiare le proprietà delle funzioni di singola variabile reale facendo uso delle nozioni di limite e derivata. Comprensione dei metodi elementari dell'algebra lineare. Elementi di calcolo differenziale in più variabili.
scheda docente
materiale didattico
Vettori: rappresentazione algebrica e geometrica. Somma di vettori, prodotto per uno scalare, combinazioni lineari,
basi. Prodotto scalare e prodotto vettoriale. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, disuguaglianza triangolare. Rette nel piano cartesiano, rette e piani nello spazio: condizioni di parallelismo e perpendicolarità.
Algebra lineare: matrici, somma di matrici, prodotto per uno scalare, prodotto di matrici, matrice trasposta.
Algebra delle matrici quadrate: traccia, determinante, potenza intera positiva, matrice inversa. Sistemi lineari: rappresentazione matriciale, risoluzione col metodo della matrice inversa, teorema di Cramer, sistemi omogenei, rango di una matrice e teorema di Rouché-Capelli. Autovalori e autovettori. Teorema spettrale per matrici reali simmetriche. Trasformazioni lineari nel piano euclideo: rotazioni.
Funzioni reali di variabile reali. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. Composizione di funzioni. Invertibilità e monotonia. Punti stazionari: massimi, minimi e flessi. Simmetrie: funzioni pari, dispari e periodiche. Grafico di una funzione e operazioni sui grafici.
Funzioni elementari e loro proprietà. Funzioni lineari, valore assoluto, potenze, esponenziali, logaritmi,
funzioni trigonometriche. Risoluzione di disequazioni. Applicazioni.
Limiti: definizione e proprietà. Teoremi sui limiti: teorema della permanenza del segno e teorema del confronto. Regole di calcolo dei limiti. Forme indeterminate, infiniti e infinitesimi. Limiti notevoli. Funzioni limitate e divergenti. Asintoti. Funzioni continue e punti di discontinuità. Teoremi sulle funzioni continue e controesempi: teorema di Weierstrass, teorema di esistenza degli zeri, teorema del valore intermedio.
Derivate: rapporto incrementale e definizione di derivata. Interpretazione geometrica e rette tangenti a grafici. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione. Punti di non derivabilità. Teoremi di derivazione: Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy. Criteri di monotonia e convessità. Teorema di de l’Hopital. Approssimazione di
funzioni con polinomi e formula di Taylor. Applicazioni.
Grafici: studio qualitativo del grafico di una funzione.
Cenni di calcolo differenziale per funzioni in più variabili. Limiti in più variabili. Continuità. Derivata direzionale, gradiente e matrice hessiana. Caratterizzazione di punti di massimo, di minimo e di sella. Campi vettoriali: divergenza e rotore.
2. Carlo Sbordone, Paolo Marcellini, Elementi di Calcolo, Liguori.
3. Carlo Sbordone, Paolo Marcellini, Esercitazioni di Matematica (prima parte e seconda parte), Liguori.
Programma
Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali, reali e complessi. Assioma di completezza e ipotesi del continuo. Rappresentazione di numeri reali sulla retta. Rappresentazione algebrica, trigonometrica ed esponenziale di numeri complessi. Teorema fondamentale dell’algebra.Vettori: rappresentazione algebrica e geometrica. Somma di vettori, prodotto per uno scalare, combinazioni lineari,
basi. Prodotto scalare e prodotto vettoriale. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, disuguaglianza triangolare. Rette nel piano cartesiano, rette e piani nello spazio: condizioni di parallelismo e perpendicolarità.
Algebra lineare: matrici, somma di matrici, prodotto per uno scalare, prodotto di matrici, matrice trasposta.
Algebra delle matrici quadrate: traccia, determinante, potenza intera positiva, matrice inversa. Sistemi lineari: rappresentazione matriciale, risoluzione col metodo della matrice inversa, teorema di Cramer, sistemi omogenei, rango di una matrice e teorema di Rouché-Capelli. Autovalori e autovettori. Teorema spettrale per matrici reali simmetriche. Trasformazioni lineari nel piano euclideo: rotazioni.
Funzioni reali di variabile reali. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. Composizione di funzioni. Invertibilità e monotonia. Punti stazionari: massimi, minimi e flessi. Simmetrie: funzioni pari, dispari e periodiche. Grafico di una funzione e operazioni sui grafici.
Funzioni elementari e loro proprietà. Funzioni lineari, valore assoluto, potenze, esponenziali, logaritmi,
funzioni trigonometriche. Risoluzione di disequazioni. Applicazioni.
Limiti: definizione e proprietà. Teoremi sui limiti: teorema della permanenza del segno e teorema del confronto. Regole di calcolo dei limiti. Forme indeterminate, infiniti e infinitesimi. Limiti notevoli. Funzioni limitate e divergenti. Asintoti. Funzioni continue e punti di discontinuità. Teoremi sulle funzioni continue e controesempi: teorema di Weierstrass, teorema di esistenza degli zeri, teorema del valore intermedio.
Derivate: rapporto incrementale e definizione di derivata. Interpretazione geometrica e rette tangenti a grafici. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione. Punti di non derivabilità. Teoremi di derivazione: Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy. Criteri di monotonia e convessità. Teorema di de l’Hopital. Approssimazione di
funzioni con polinomi e formula di Taylor. Applicazioni.
Grafici: studio qualitativo del grafico di una funzione.
Cenni di calcolo differenziale per funzioni in più variabili. Limiti in più variabili. Continuità. Derivata direzionale, gradiente e matrice hessiana. Caratterizzazione di punti di massimo, di minimo e di sella. Campi vettoriali: divergenza e rotore.
Testi Adottati
1. Dispense disponibili online.2. Carlo Sbordone, Paolo Marcellini, Elementi di Calcolo, Liguori.
3. Carlo Sbordone, Paolo Marcellini, Esercitazioni di Matematica (prima parte e seconda parte), Liguori.
Modalità Erogazione
Lezioni frontali ed esercitazioni.Modalità Frequenza
La frequenza è obbligatoria.Modalità Valutazione
L'esame consiste in una prova scritta, eventualmente sostituita da due prove di esonero in itinere e in un successivo colloquio orale, in cui lo studente dovrà discutere gli argomenti trattati a lezione, con riferimento ai testi utilizzati e/o alle note distribuite a lezione.
scheda docente
materiale didattico
▪ Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali, reali, complessi.
▪ Vettori e calcolo vettoriale.
▪ Matrici, algebra lineare e sistemi lineari.
▪ Funzioni reali di una variabile reale:
- funzioni elementari: potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche;
- limiti, derivate, formula di Taylor;
- studio qualitativo del grafico.
▪ Cenni di calcolo differenziale in più dimensioni:
- gradiente, derivata direzionale, matrice Hessiana;
- divergenza, rotore.
• Note delle lezioni del corso.
• P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Calcolo (versione semplificata per i nuovi corsi di laurea), Liguori Editore (2016).
• D. Benedetto, M. Degli Esposti, C. Maffei, Matematica per le Scienze della Vita (III edizione), Casa Editrice Ambrosiana -Zanichelli (2015).
Esercizi
• Note delle lezioni del corso.
• P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi di Matematica I (prima parte e seconda parte), Liguori Editore (2016).
• S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli (2001).
Programma
▪ Teoria degli insiemi (cenni).▪ Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali, reali, complessi.
▪ Vettori e calcolo vettoriale.
▪ Matrici, algebra lineare e sistemi lineari.
▪ Funzioni reali di una variabile reale:
- funzioni elementari: potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche;
- limiti, derivate, formula di Taylor;
- studio qualitativo del grafico.
▪ Cenni di calcolo differenziale in più dimensioni:
- gradiente, derivata direzionale, matrice Hessiana;
- divergenza, rotore.
Testi Adottati
Teoria• Note delle lezioni del corso.
• P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Calcolo (versione semplificata per i nuovi corsi di laurea), Liguori Editore (2016).
• D. Benedetto, M. Degli Esposti, C. Maffei, Matematica per le Scienze della Vita (III edizione), Casa Editrice Ambrosiana -Zanichelli (2015).
Esercizi
• Note delle lezioni del corso.
• P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi di Matematica I (prima parte e seconda parte), Liguori Editore (2016).
• S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli (2001).
Modalità Erogazione
Didattica frontale. Lezioni trasmesse in streaming tramite Microsoft Teams. Le registrazioni delle lezioni sono messe a disposizione degli studenti per un periodo limitato.Modalità Frequenza
Frequenza obbligatoriaModalità Valutazione
La prova d'esame comprende sia una parte scritta che una orale. Nella prova scritta verrà testata la capacità di risolvere problemi simili a quelli trattati durante il corso. Lo scopo della prova orale è di verificare le competenze teoriche acquisite.