L’obiettivo finale è di far conoscere l’analisi matematica di base e di sviluppare le capacità di affrontare e risolvere problemi attraverso la logica matematica.
scheda docente
materiale didattico
– Assiomatica di R. Gli insiemi N, Z, Q e operazioni ben definite su di essi. Intervalli, sottoinsiemi superiormente/inferiormente limitati. Maggioranti, minoranti.
– Estremo superiore, inferiore, max e min. Esempi vari. Teo di completezza (senza dim). Valore assoluto di un reale e proprietà.
– Funzioni reali a una variabile reale. Immagine e contro-immagine. Determinare graficamente l’immagine e la contro immagine di un sottoinsieme di R
– Composizione di funzioni. Traslazioni e valore assoluto. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzioni inverse. Simmetrie. Esempi grafici.
– Il grafico della funzione inversa. Monotonia, inf/sup, Max/min locali e globali di funzioni. Teoremi su monotonia e iniettività, composizione di funzioni monotone, iniettive, suriettive con dimostrazioni.
– funzioni elementari e loro inverse (potenza, esponenziale, logaritmi, trigonometriche).
- elementi di geometria analitica nel piano: lo spazio vettoriale R^2, vettori e prodotto scalare, il piano euclideo.
– Successioni. Definizione ed esempi. Successioni maggiorate, minorate, limitate, monotone. Limite di successioni.
– Successioni divergenti. Teoremi con dimostrazione di: unicità del limite, confronto, permanenza del segno, limite di succ. crescenti maggiorate. Teo di Bolzano-Weierstrass. Esempi vari.
– Successioni asintoticamente equivalenti. La relazione di asintotico e le sue proprietà, esempi nel calcolo dei limiti. Dimostrazione che sin(a_n)/a_n —1 se a_n–0. Definizione di o-piccolo per successioni. Gerarchie di infinito rilette nell’ottica di o-piccolo.
– Limite di funzioni. Intorni di un punto di R esteso, intorni bucati/anulari. Punti di accumulazione, proprietà valide definitivamente. limiti di funzioni e definizioni equivalenti. Limite nelle composizioni. Esempi.
– funzioni asintoticamente equivalenti, o-piccolo e limiti notevoli. Funzioni continue, definizione. Composizione. Classificazione dei punti di discontinuità. Esempi. Estensione di un dominio/prolungamento per continuità di una funzione.
– Teoremi sulla continuità: teo degli Zeri, di Darboux (o dei valori intermedi), permanenza del segno (con dim). Dimostrazione che ogni polinomio di grado 3 ammette almeno una radice reale. Teo di Weierstrass. Corollari vari ed esempi sulla necessità delle ipotesi. Limiti di funzioni monotone e teoremi su continuità e monotonia di f e la sua inversa. Asintoti di una funzione: come determinarli.
– Derivabilità. Definizione di funzione derivabile in un punto. Esempi di funzioni non derivabili. Punti di non derivabilità. Significato geometrico di derivata di una funzione. Derivabile implica continuità (con dim). Derivata funzioni composte, derivata funzione inversa. Dimostrazione delle derivate di funzioni elementari e delle loro inverse.
– Caratterizzazione funzioni monotone e costanti tramite derivate. Dimostrazione dei Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Necessità delle ipotesi. Significati geometrici ed esempi di applicazione.
– Teorema di de l’Hopital con esempi di applicazione.
– Convessità e concavità: definizioni e proprietà. Caratterizzazione mediante la derivata prima e seconda. Utilizzo per discriminare punti di max/min relativi. Derivate di ordine superiore, definizione della classe C^n(I).
– Sviluppi di Taylor. Teoremi di Taylor con Resto di Lagrange e Peano. Calcolo di alcuni sviluppi notevoli. Utilizzo dello sviluppo di Mc Laurin per determinare se 0 è punto estremante o flesso. Esempi di applicazione.
– Primitive e Integrali indefiniti. Proprietà ed esempi. Integrazione per parti e per sostituzione (teo cambio variabili). Esempi ed esercizi.
– Integrazione funzioni razionali.
– L’integrale di Riemann. Funzioni integrabili secondo Riemann, costruzione dell’integrale. Esempi funzioni non integrabili. Teorema fondamentale calcolo integrale. Proprietà.
– Teorema Torricelli-Barrow per il calcolo dell’integrale definito con dimostrazione. il teorema della media (con dim). Esercizi su integrali definiti.
– Equazioni differenziali. Intro alle equazioni differenziali ordinarie. Processi deterministici e spazio delle fasi. Definizione di soluzione. Il caso più semplice di problema di Cauchy x’ = v(t) x(t_0)=x_0 : esistenza e unicità della soluzione. Formula di Barrow.
– Eq. diff. a variabili separabili. Teo di Esistenza e unicità della soluzione. Determinazione della soluzione. Esercizi.
– Il modello di “riproduzione normale”.
– Eq. diff lineari non omogenee I ordine (coeff non costanti). Esistenza e unicità della soluzione. Metodo di Variazione delle costanti arbitrarie.
- Vettori nel piano e nello spazio. Somma, differenza, regola del parallelogramma. Rappresentazione tramite componenti. Basi, prodotto scalare. Utilizzo del prodotto scalare, proiezioni nella direzione di un versore.
- Elementi di Matematica, Marcellini-Sbordone, Luguori ed. (ATTENZIONE: questo testo non copre tutto il programma)
– Elementi di Calcolo, Marcellini-Sbordone, Luguori ed. (più completo)
Per accompagnare lo studio dei testi proposti, ci si può appoggiare anche alle note del progetto Matematica Assistita - Ariel (Univeristà degli Studi di Milano) reperibili al sito ufficiale URL : matematicaassistita.ariel.ctu.unimi.it/ : registrarsi come Utente Esterno -- Contenuti -- scegliere l'Argomento
Programma
Programma di massima:– Assiomatica di R. Gli insiemi N, Z, Q e operazioni ben definite su di essi. Intervalli, sottoinsiemi superiormente/inferiormente limitati. Maggioranti, minoranti.
– Estremo superiore, inferiore, max e min. Esempi vari. Teo di completezza (senza dim). Valore assoluto di un reale e proprietà.
– Funzioni reali a una variabile reale. Immagine e contro-immagine. Determinare graficamente l’immagine e la contro immagine di un sottoinsieme di R
– Composizione di funzioni. Traslazioni e valore assoluto. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzioni inverse. Simmetrie. Esempi grafici.
– Il grafico della funzione inversa. Monotonia, inf/sup, Max/min locali e globali di funzioni. Teoremi su monotonia e iniettività, composizione di funzioni monotone, iniettive, suriettive con dimostrazioni.
– funzioni elementari e loro inverse (potenza, esponenziale, logaritmi, trigonometriche).
- elementi di geometria analitica nel piano: lo spazio vettoriale R^2, vettori e prodotto scalare, il piano euclideo.
– Successioni. Definizione ed esempi. Successioni maggiorate, minorate, limitate, monotone. Limite di successioni.
– Successioni divergenti. Teoremi con dimostrazione di: unicità del limite, confronto, permanenza del segno, limite di succ. crescenti maggiorate. Teo di Bolzano-Weierstrass. Esempi vari.
– Successioni asintoticamente equivalenti. La relazione di asintotico e le sue proprietà, esempi nel calcolo dei limiti. Dimostrazione che sin(a_n)/a_n —1 se a_n–0. Definizione di o-piccolo per successioni. Gerarchie di infinito rilette nell’ottica di o-piccolo.
– Limite di funzioni. Intorni di un punto di R esteso, intorni bucati/anulari. Punti di accumulazione, proprietà valide definitivamente. limiti di funzioni e definizioni equivalenti. Limite nelle composizioni. Esempi.
– funzioni asintoticamente equivalenti, o-piccolo e limiti notevoli. Funzioni continue, definizione. Composizione. Classificazione dei punti di discontinuità. Esempi. Estensione di un dominio/prolungamento per continuità di una funzione.
– Teoremi sulla continuità: teo degli Zeri, di Darboux (o dei valori intermedi), permanenza del segno (con dim). Dimostrazione che ogni polinomio di grado 3 ammette almeno una radice reale. Teo di Weierstrass. Corollari vari ed esempi sulla necessità delle ipotesi. Limiti di funzioni monotone e teoremi su continuità e monotonia di f e la sua inversa. Asintoti di una funzione: come determinarli.
– Derivabilità. Definizione di funzione derivabile in un punto. Esempi di funzioni non derivabili. Punti di non derivabilità. Significato geometrico di derivata di una funzione. Derivabile implica continuità (con dim). Derivata funzioni composte, derivata funzione inversa. Dimostrazione delle derivate di funzioni elementari e delle loro inverse.
– Caratterizzazione funzioni monotone e costanti tramite derivate. Dimostrazione dei Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Necessità delle ipotesi. Significati geometrici ed esempi di applicazione.
– Teorema di de l’Hopital con esempi di applicazione.
– Convessità e concavità: definizioni e proprietà. Caratterizzazione mediante la derivata prima e seconda. Utilizzo per discriminare punti di max/min relativi. Derivate di ordine superiore, definizione della classe C^n(I).
– Sviluppi di Taylor. Teoremi di Taylor con Resto di Lagrange e Peano. Calcolo di alcuni sviluppi notevoli. Utilizzo dello sviluppo di Mc Laurin per determinare se 0 è punto estremante o flesso. Esempi di applicazione.
– Primitive e Integrali indefiniti. Proprietà ed esempi. Integrazione per parti e per sostituzione (teo cambio variabili). Esempi ed esercizi.
– Integrazione funzioni razionali.
– L’integrale di Riemann. Funzioni integrabili secondo Riemann, costruzione dell’integrale. Esempi funzioni non integrabili. Teorema fondamentale calcolo integrale. Proprietà.
– Teorema Torricelli-Barrow per il calcolo dell’integrale definito con dimostrazione. il teorema della media (con dim). Esercizi su integrali definiti.
– Equazioni differenziali. Intro alle equazioni differenziali ordinarie. Processi deterministici e spazio delle fasi. Definizione di soluzione. Il caso più semplice di problema di Cauchy x’ = v(t) x(t_0)=x_0 : esistenza e unicità della soluzione. Formula di Barrow.
– Eq. diff. a variabili separabili. Teo di Esistenza e unicità della soluzione. Determinazione della soluzione. Esercizi.
– Il modello di “riproduzione normale”.
– Eq. diff lineari non omogenee I ordine (coeff non costanti). Esistenza e unicità della soluzione. Metodo di Variazione delle costanti arbitrarie.
- Vettori nel piano e nello spazio. Somma, differenza, regola del parallelogramma. Rappresentazione tramite componenti. Basi, prodotto scalare. Utilizzo del prodotto scalare, proiezioni nella direzione di un versore.
Testi Adottati
I testi di riferimento sono i seguenti:- Elementi di Matematica, Marcellini-Sbordone, Luguori ed. (ATTENZIONE: questo testo non copre tutto il programma)
– Elementi di Calcolo, Marcellini-Sbordone, Luguori ed. (più completo)
Per accompagnare lo studio dei testi proposti, ci si può appoggiare anche alle note del progetto Matematica Assistita - Ariel (Univeristà degli Studi di Milano) reperibili al sito ufficiale URL : matematicaassistita.ariel.ctu.unimi.it/ : registrarsi come Utente Esterno -- Contenuti -- scegliere l'Argomento
Bibliografia Di Riferimento
.Modalità Erogazione
Gesso e lavagna.Modalità Valutazione
L'esame consiste di uno scritto e un orale, a cui si può accedere previo superamento dello scritto. Se il voto allo scritto >= 24/30, è possibile verbalizzare il voto senza svolgimento dell'orale. Se le restrizioni dovute alla situazione pandemica lo permettono, sono previste due prove in itinere scritte: il superamento di entrambe le prove permette di accedere all'orale senza dover svolgere lo scritto. Se la media delle due prove >= 24, potrà essere verbalizzato il voto senza svolgimento dell'esame orale. IN OGNI CASO, l'eventuale esame orale/verbalizzazione dovrà essere svolto NELLA sessione INVERNALE (appelli di Gennaio e Febbraio). Ogni esame scritto è costituito da due parti: la prima parte presenta quesiti a risposta multipla di conoscenze matematiche considerate di base (si veda la voce "prerequisiti del corso"). IL SUPERAMENTO DI TALE PARTE è CONDIZIONE NECESSARIA AL SUPERAMENTO DELLA PROVA SCRITTA. La seconda parte riguarda specificatamente il programma del corso.