Acquisire una buona conoscenza della teoria elementare delle equazioni differenziali alle derivate parziali e dei metodi basilari di risoluzione, con particolare riferimento alle equazioni che descrivono problemi della fisica matematica.
scheda docente
materiale didattico
L'equazione di continuità, o del trasporto lineare. Metodo delle curve caratteristiche.
Derivazione microscopica dell'equazione delle onde da un sistema di oscillatori armonici accoppiati. Unicità della soluzione al problema di Cauchy associato all'equazione delle onde. Onde viaggianti. Soluzione di D'Alembert. Regioni dello spazio-tempo causalmente connesse. Cono di luce futuro e passato. Conservazione dell'energia e unicità della soluzione dell'equazione delle onde. Equipartizione dell'energia. Principio di Duhamel e soluzione fondamentale.
La nozione di soluzione debole per il problema di Cauchy per l'equazione delle onde. Simmetrie e metodo delle immagini. Soluzione di Kirchoff per l'equazione delle onde in R3: potenziali ritardati; principio di Huygens (forte e debole); fronte d'onda anteriore e posteriore. Unicità della soluzione all'equazione delle onde in Rn. Soluzione di Poisson per l'equazione delle onde in R2: violazione del principio di Huygens forte.
Excursus di analisi funzionale: la misura di Lesbegue su Rn. Funzioni misurabili e integrabili secondo Lesbegue. Definizione degli spazi L^p e L^\infty, loro completezza e convergenza debole in L^p. Spazi di Hilbert. L^2 come esempio di spazio di Hilbert separabile. Basi ortonormali numerabili. La Trasformata di Fourier (TdF) in L^1. Lemma di Riemann-Lesbague. TdF di una convoluzione. TdF in L^2. Identità di Plancherel e di Parseval. Teorema di inversione. Introduzione alle distribuzioni: lo spazio delle funzioni test e il suo duale. Distribuzioni di ordine finito. Distribuzioni associate a funzioni in L^1_{loc} e in L^2. L^1_{loc} e L^2 come sottospazi dello spazio delle distribuzioni. Derivate delle distribuzioni, derivate distribuzionali delle funzioni in L^1_{loc}; cambi di variabile lineari nelle distribuzioni; moltiplicazione di una distribuzione per una funzione liscia. Spazio di Schwarz e distribuzioni temperate. Distribuzioni temperate regolari. TdF delle distribuzioni temperate. Operazioni sulla TdF e sue proprietà (trasformata di Fourier delle derivate, dell'operatore di traslazione, dei polinomi).
L'equazione del calore: processi di diffusione termica e meccanica. Processi irreversibili. Derivazione microscopica dell'equazione del calore: la passeggiata aleatoria (Random Walk) e cenni al moto Browniano (Processo di Wiener). Il problema di Cauchy per l'equazione del calore in un dominio limitato. Principio del massimo e unicità della soluzione per il problema di Cauchy associato all'equazione del calore. La soluzione fondamentale: definizione, forma esplicita e proprietà notevoli. La soluzione del problema di Cauchy globale associato all'equazione del calore non omogenea con forzante qualsiasi e dato iniziale qualsiasi, in termini di convoluzioni con la soluzione fondamentale. L'equazione del calore sul segmento con condizioni di Dirichlet nulle al bordo: metodo delle riflessioni e di separazione di variabili. La formula di somma di Poisson. L'entropia di Shannon associata alla soluzione dell'equazione del calore. La disuguaglianza di Jensen. Monotonia dell'entropia come funzione del tempo.
Introduzione storica della nascita della Meccanica Quantistica. Fenomeno dell'interferenza (esperimento della doppia fenditura). Proprietà di base dei fenomeni ondulatori. Effetto fotoelettrico e sua interpretazione. Luce: dualità onda-particella.
Eq.ne di Schroedinger libera su L^2(R^d). Teorema di esistenza ed unicità globale per l'eq.ne di Schroedinger libera con dato iniziale di tipo Schwartz. Centro del pacchetto d'onda associato alla soluzione dell'eq.ne di Schroedinger libera. Spazi di Hilbert: le nozioni di operatore lineare, operatore lineare densamente definito, norma operatoriale, lemma di estensione limitata, operatore Hermitiano o simmetrico. Definizione di operatore unitario e sua caratterizzazione. Operatore momento. Postulati della Meccanica Quantistica. Regola di sostituzione per ottenere osservabili quantistiche da osservabili classiche. Il commutatore di due operatori. Principio d'indeterminazione generale (con dimostrazione) e Principio d'indeterminazione di Heisenberg. Oscillatore armonico unidimensionale quantistico. Le funzioni di Hermite. Definizione di spettro di un operatore lineare densamente definito. Spettro dell'Hamiltoniana dell'oscillatore armonico.
[B21] P. Buttà: Note del Corso di Fisica Matematica.
[G07] G. Gallavotti: The elements of mechanics, Ipparco Editore 2007.
[LL01] E. H. Lieb, M. Loss: Analysis, 2nd edition, AMS Graduate Studies in Mathematics, 2001.
[S16] S. Salsa: Equazioni a derivate parziali, 3a edizione, Springer Unitext 2016.
Programma
Equazioni alle Derivate Parziali (EDP) in Fisica Matematica: definizioni ed esempi. EDP lineari e non-lineari di ordine k. EDP lineari di second'ordine di tipo ellittico, parabolico e iperbolico.L'equazione di continuità, o del trasporto lineare. Metodo delle curve caratteristiche.
Derivazione microscopica dell'equazione delle onde da un sistema di oscillatori armonici accoppiati. Unicità della soluzione al problema di Cauchy associato all'equazione delle onde. Onde viaggianti. Soluzione di D'Alembert. Regioni dello spazio-tempo causalmente connesse. Cono di luce futuro e passato. Conservazione dell'energia e unicità della soluzione dell'equazione delle onde. Equipartizione dell'energia. Principio di Duhamel e soluzione fondamentale.
La nozione di soluzione debole per il problema di Cauchy per l'equazione delle onde. Simmetrie e metodo delle immagini. Soluzione di Kirchoff per l'equazione delle onde in R3: potenziali ritardati; principio di Huygens (forte e debole); fronte d'onda anteriore e posteriore. Unicità della soluzione all'equazione delle onde in Rn. Soluzione di Poisson per l'equazione delle onde in R2: violazione del principio di Huygens forte.
Excursus di analisi funzionale: la misura di Lesbegue su Rn. Funzioni misurabili e integrabili secondo Lesbegue. Definizione degli spazi L^p e L^\infty, loro completezza e convergenza debole in L^p. Spazi di Hilbert. L^2 come esempio di spazio di Hilbert separabile. Basi ortonormali numerabili. La Trasformata di Fourier (TdF) in L^1. Lemma di Riemann-Lesbague. TdF di una convoluzione. TdF in L^2. Identità di Plancherel e di Parseval. Teorema di inversione. Introduzione alle distribuzioni: lo spazio delle funzioni test e il suo duale. Distribuzioni di ordine finito. Distribuzioni associate a funzioni in L^1_{loc} e in L^2. L^1_{loc} e L^2 come sottospazi dello spazio delle distribuzioni. Derivate delle distribuzioni, derivate distribuzionali delle funzioni in L^1_{loc}; cambi di variabile lineari nelle distribuzioni; moltiplicazione di una distribuzione per una funzione liscia. Spazio di Schwarz e distribuzioni temperate. Distribuzioni temperate regolari. TdF delle distribuzioni temperate. Operazioni sulla TdF e sue proprietà (trasformata di Fourier delle derivate, dell'operatore di traslazione, dei polinomi).
L'equazione del calore: processi di diffusione termica e meccanica. Processi irreversibili. Derivazione microscopica dell'equazione del calore: la passeggiata aleatoria (Random Walk) e cenni al moto Browniano (Processo di Wiener). Il problema di Cauchy per l'equazione del calore in un dominio limitato. Principio del massimo e unicità della soluzione per il problema di Cauchy associato all'equazione del calore. La soluzione fondamentale: definizione, forma esplicita e proprietà notevoli. La soluzione del problema di Cauchy globale associato all'equazione del calore non omogenea con forzante qualsiasi e dato iniziale qualsiasi, in termini di convoluzioni con la soluzione fondamentale. L'equazione del calore sul segmento con condizioni di Dirichlet nulle al bordo: metodo delle riflessioni e di separazione di variabili. La formula di somma di Poisson. L'entropia di Shannon associata alla soluzione dell'equazione del calore. La disuguaglianza di Jensen. Monotonia dell'entropia come funzione del tempo.
Introduzione storica della nascita della Meccanica Quantistica. Fenomeno dell'interferenza (esperimento della doppia fenditura). Proprietà di base dei fenomeni ondulatori. Effetto fotoelettrico e sua interpretazione. Luce: dualità onda-particella.
Eq.ne di Schroedinger libera su L^2(R^d). Teorema di esistenza ed unicità globale per l'eq.ne di Schroedinger libera con dato iniziale di tipo Schwartz. Centro del pacchetto d'onda associato alla soluzione dell'eq.ne di Schroedinger libera. Spazi di Hilbert: le nozioni di operatore lineare, operatore lineare densamente definito, norma operatoriale, lemma di estensione limitata, operatore Hermitiano o simmetrico. Definizione di operatore unitario e sua caratterizzazione. Operatore momento. Postulati della Meccanica Quantistica. Regola di sostituzione per ottenere osservabili quantistiche da osservabili classiche. Il commutatore di due operatori. Principio d'indeterminazione generale (con dimostrazione) e Principio d'indeterminazione di Heisenberg. Oscillatore armonico unidimensionale quantistico. Le funzioni di Hermite. Definizione di spettro di un operatore lineare densamente definito. Spettro dell'Hamiltoniana dell'oscillatore armonico.
Testi Adottati
[C18] W. Craig: A Course on Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, AMS 2018[B21] P. Buttà: Note del Corso di Fisica Matematica.
[G07] G. Gallavotti: The elements of mechanics, Ipparco Editore 2007.
[LL01] E. H. Lieb, M. Loss: Analysis, 2nd edition, AMS Graduate Studies in Mathematics, 2001.
[S16] S. Salsa: Equazioni a derivate parziali, 3a edizione, Springer Unitext 2016.
Modalità Frequenza
Frequenza in presenza è fortemente raccomandataModalità Valutazione
Due esoneri durante il corso (a sostituzione della prova scritta). Prova scritta e orale