Acquisire una ampia conoscenza delle funzioni olomorfe e meromorfe di una variabile complessa e delle loro principali proprietà. Acquisire una buona manualità nell’integrazione complessa e nel calcolo di integrali definiti reali.
Curriculum
scheda docente
materiale didattico
II. Teorema di Cauchy e sue applicazioni: Teorema di Goursat. Teorema di Cauchy su insiemi stellati. Formula di Cauchy e calcolo dei residui. Continuazione analitica. Teorema di Morera. Principio di Schwarz.
III. Funzioni meromorfe e il logaritmo: Zeri, poli, singolarità essenziali. Funzioni meromorfe. Principio dell'argomento. Omotopia. Il logaritmo complesso. Teorema di Cauchy su regioni semplicemente connesse.
IV. Somme e prodotti canonici: Serie di Laurent. Teorema di Fourier-Laurent-Weierstrass. Fratti parziali; Teorema di Mittag-Leffler. Prodotti canonici e Teorema di Weierstrass.
V. Trasformazioni conformi: Mappe conformi elementari e trasformazioni lineari fratte (Möbius); automorfismi del cerchio. Il teorema di Montel e il teorema della mappa di Riemann.
Programma
I. Preliminari: Numeri complessi e piano complesso. Topologia e convergenza. Funzioni continue. Funzioni olomorfe ed equazioni di Cauchy-Riemann. Serie di potenze (formula di Cauchy-Hadamard). Integrazione lungo curve.II. Teorema di Cauchy e sue applicazioni: Teorema di Goursat. Teorema di Cauchy su insiemi stellati. Formula di Cauchy e calcolo dei residui. Continuazione analitica. Teorema di Morera. Principio di Schwarz.
III. Funzioni meromorfe e il logaritmo: Zeri, poli, singolarità essenziali. Funzioni meromorfe. Principio dell'argomento. Omotopia. Il logaritmo complesso. Teorema di Cauchy su regioni semplicemente connesse.
IV. Somme e prodotti canonici: Serie di Laurent. Teorema di Fourier-Laurent-Weierstrass. Fratti parziali; Teorema di Mittag-Leffler. Prodotti canonici e Teorema di Weierstrass.
V. Trasformazioni conformi: Mappe conformi elementari e trasformazioni lineari fratte (Möbius); automorfismi del cerchio. Il teorema di Montel e il teorema della mappa di Riemann.
Testi Adottati
Elias M. Stein, R. Shakarchi, Complex Analysis, Princeton University Press, 2003Bibliografia Di Riferimento
[A] Ahlfors, Lars V, Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill Book Co., New York, 1978. xi+331 pp. ISBN 0-07-000657-1 [L] Lang, Serge Complex analysis. (English summary) Fourth edition. Graduate Texts inMathematics, 103. Springer-Verlag, New York, 1999. xiv+485 pp. ISBN 0-387-98592-1 [P] Pap, Endre Complex Analysis Through Examples and Exercises Kluwer Texts in the Mathematical Sciences, V. 21 (Hardcover, 1999) [E] M. Evgrafov, Coll, Recueil de problèmes sur la théorie des fonctions analytiques, Traduction francaise, Editions MiModalità Frequenza
La frequenza è facoltativa e la comprensione del testo adottato è sufficiente per la piena fruizione del corso. Naturalmente la frequenza è auspicabile e FORTEMENTE consigliata essendo l'interazione tra docente e studenti strumento didattico fondamentale e irripetibile.Modalità Valutazione
La valutazione è basata su una prova scritta e su una prova orale. Sono previste due prove scritte in itinere che, in caso di esito positivo, sostituiscono la prova scritta finale. Esempi di prove degli anni passati saranno disponibili in rete sul sito web dedicato al corso che verrà costantemente aggiornato dal docente.
scheda docente
materiale didattico
II. Teorema di Cauchy e sue applicazioni: Teorema di Goursat. Teorema di Cauchy su insiemi stellati. Formula di Cauchy e calcolo dei residui. Continuazione analitica. Teorema di Morera. Principio di Schwarz.
III. Funzioni meromorfe e il logaritmo: Zeri, poli, singolarità essenziali. Funzioni meromorfe. Principio dell'argomento. Omotopia. Il logaritmo complesso. Teorema di Cauchy su regioni semplicemente connesse.
IV. Somme e prodotti canonici: Serie di Laurent. Teorema di Fourier-Laurent-Weierstrass. Fratti parziali; Teorema di Mittag-Leffler. Prodotti canonici e Teorema di Weierstrass.
V. Trasformazioni conformi: Mappe conformi elementari e trasformazioni lineari fratte (Möbius); automorfismi del cerchio. Il teorema di Montel e il teorema della mappa di Riemann.
Mutuazione: 20410882 AC310 - ANALISI COMPLESSA in Matematica L-35 R CHIERCHIA LUIGI
Programma
I. Preliminari: Numeri complessi e piano complesso. Topologia e convergenza. Funzioni continue. Funzioni olomorfe ed equazioni di Cauchy-Riemann. Serie di potenze (formula di Cauchy-Hadamard). Integrazione lungo curve.II. Teorema di Cauchy e sue applicazioni: Teorema di Goursat. Teorema di Cauchy su insiemi stellati. Formula di Cauchy e calcolo dei residui. Continuazione analitica. Teorema di Morera. Principio di Schwarz.
III. Funzioni meromorfe e il logaritmo: Zeri, poli, singolarità essenziali. Funzioni meromorfe. Principio dell'argomento. Omotopia. Il logaritmo complesso. Teorema di Cauchy su regioni semplicemente connesse.
IV. Somme e prodotti canonici: Serie di Laurent. Teorema di Fourier-Laurent-Weierstrass. Fratti parziali; Teorema di Mittag-Leffler. Prodotti canonici e Teorema di Weierstrass.
V. Trasformazioni conformi: Mappe conformi elementari e trasformazioni lineari fratte (Möbius); automorfismi del cerchio. Il teorema di Montel e il teorema della mappa di Riemann.
Testi Adottati
Elias M. Stein, R. Shakarchi, Complex Analysis, Princeton University Press, 2003Bibliografia Di Riferimento
[A] Ahlfors, Lars V, Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill Book Co., New York, 1978. xi+331 pp. ISBN 0-07-000657-1 [L] Lang, Serge Complex analysis. (English summary) Fourth edition. Graduate Texts inMathematics, 103. Springer-Verlag, New York, 1999. xiv+485 pp. ISBN 0-387-98592-1 [P] Pap, Endre Complex Analysis Through Examples and Exercises Kluwer Texts in the Mathematical Sciences, V. 21 (Hardcover, 1999) [E] M. Evgrafov, Coll, Recueil de problèmes sur la théorie des fonctions analytiques, Traduction francaise, Editions MiModalità Frequenza
La frequenza è facoltativa e la comprensione del testo adottato è sufficiente per la piena fruizione del corso. Naturalmente la frequenza è auspicabile e FORTEMENTE consigliata essendo l'interazione tra docente e studenti strumento didattico fondamentale e irripetibile.Modalità Valutazione
La valutazione è basata su una prova scritta e su una prova orale. Sono previste due prove scritte in itinere che, in caso di esito positivo, sostituiscono la prova scritta finale. Esempi di prove degli anni passati saranno disponibili in rete sul sito web dedicato al corso che verrà costantemente aggiornato dal docente.